Equação de Segundo Grau

Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:

onde a, b e c são números conhecidos com a 0.

Exemplos:

1º) 2x² – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c= 5)

2º) 5x² + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c= 0)

3º) 4x²– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c= –11)

A – Resolução da equação do 2º grau

Exemplos:

1º) Resolver em R a equação:

x²-16=0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:

x²-16=0 x²=16

x²-16=0 x = –4 ou x = +4

Assim:
2º) Resolver em R a equação:

x² + 11x = 0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:

x² + 11x = 0 x(x + 11) = 0

x² + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0

x² + 11x = 0 x = 0 ou x = –11

Assim:
3º) Resolver em R a equação:

x² + 4x + 4 = 16

Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a (x + 2)², então:

x² + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)² = 16

Assim:

x² + 4x + 4 = 16 (x + 2)² = 16

x² + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4

x² + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2

Assim:
4º) Resolver em R a equação:

x²– 6x + 5 = 0

Observemos que x²– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:

x²é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado do segundo será igual a 9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermos x2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.

Assim:

x² – 6x + 5 = 0 x²– 6x + 5 + 9 = 9

x²– 6x + 5 = 0 x²– 6x + 9 = 4

x²– 6x + 5 = 0 (x – 3)² = 4

x²– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2

x² – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5

Assim:

 

B – Fórmula de Bhaskara

Vamos resolver a equação: ax² + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.
Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:

a²x²+ abx + ac = 0

Notemos que a expressão:

é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade o número .
a²x² + abx + =

Logo:

Chamando b²– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega (delta), teremos:

 

Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.

 

Exemplo

Resolver em R a equação

5x²– 12x + 4 = 0

temos, a = 5, b = –12 e c = 4

substituindo na fórmula de Bhaskara.

 

Observação: Se a equação não estiver na forma ax² + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.

 

C. Discussão do Número de Soluções da Equação do 2º Grau

Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:

1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.

Exemplo

Resolver em R:

 

2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.

Exemplo

Resolver em R:

 

3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.

Exemplo

Equações de Primeiro Grau

1. Introdução

Consideremos as três igualdades abaixo:

1ª) 2 + 3 = 5
2ª) 2 + 1 = 5
3ª) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra xé a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos:
1º) 2x + 1 = 7
3 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –2
1 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

x²= 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

\n

2º) Resolver a equação:

x²= 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3

x + 2 – 2 = 3 – 2

Assim:

x + 2 = 3

x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

–2x= 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6

Dividindo ambos membros por (-2) teremos:

– 2x/(-2) = 6/(-2)

x= -3

3. Equação do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a diferente de zero.

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo:

3x – 5 = 0

3x – 5 + 5 = 0 + 5

3x = 5

3x/3 = 5/3

Ou simplesmente

x = 5/3

De modo abreviado, fazemos:

3x – 5 = 0

3x = 5

x = 5/3

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:

ax + b = 0

ax = -b

x = -b/a

Exemplo:

Resolver em R a equação:

2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.
Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.
A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;
2) Resolver a equação ou equações do problema;
3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6
Resolução

3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11